Przyjrzyjmy się różnym równaniom.
Najprostszym typem równań są równania liniowe. Oznacza to, że niewiadoma tego równania występuje tylko w postaci dodawania i mnożenia.
Nazwijmy naszą niewiadomą x i stwórzmy takie równanie. Na przykład 2x + 3 = 8. Widzimy w naszym przykładzie, że x jest tylko mnożona przez dwa i do tego iloczynu dodane jest 3. Niewiadoma nie występuje w mianowniku, czyli nie dzielimy przez nią.
Gdyby x występowało w mianowniku ułamka, to wówczas mamy do czynienia z równanie wymiernym. Przykładem prostego równania wymiernego są dwa wyrażenia liniowe dzielone przez siebie – weźmy 3x – 2 / 4 + x = 1.
Są też równania potęgowe i logarytmiczne. Wówczas nasze niewiadome wstawiamy do potęgi lub logarytmu. Osobliwym przykładem takiego równania jest pierwiastek z x przyrównany powiedzmy jakiejś liczbie naturalnej. Tak! Pierwiastek z x to też rodzaj potęgi.
Typów równań można mnożyć mnóstwo zależnie od tego na jakim poziomie abstrakcji jesteśmy. Pozostańmy jednak na najprostszym z wymienionych i rozważmy jak rozwiązać równanie linowe.
Zauważmy jaka jest kolejność wykonywania działań: najpierw mnożymy (odpowiednio dzielimy), później dodajemy (odpowiednio odejmujemy).
Rozwiązując równania jednak, kolejność ta jest odwrócona. By rozwiązać wskazane wyżej równanie 2x + 3 = 8, najpierw należy odjąć 3 (od obydwu stron równania oczywiście) i podzielić obie strony przez dwa. Zatem wpierw odejmujemy, później dzielimy. W równaniu było co prawda dodawanie i mnożenie, ale my odwracamy także operacje. Spójrzmy:
2x + 3 – 3 = 8 -3
Widzimy, że skoro było dodanie trójki, to odejmując tę samą liczbę, czyli trójkę zerujemy to, co było po plusie w lewej stronie równania. Łatwiej nam wówczas dotrzeć do niewiadomej, bo następnie wystarczy tylko obie strony podzielić przez 2.
Gdybyśmy z kolei najpierw wykonywali dzielenie przez 2 musielibyśmy podzielić też tę trójkę. Można jednak też taką operację wykonać, tylko wówczas od powstałej po prawej stronie liczby 8/2 , czyli 4, musielibyśmy odjąć 3/2.
